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后浪变前浪,肯定会被拍物化在沙滩上吗?意外……

时间:2020-10-13 21:49作者:admin打印字号:

# 科学 X 计划

6 个

概要

不久之前 , 随着一段关于 " 后浪 " 的视频在 B 站爆红,人们对于 " 后浪 " 象征意义和文化内涵的商议也愈添炎烈。然而,除却上述栽栽关于 " 后浪 " 深层内涵和意义的探讨,对于 " 后浪 ",尤其是 " 浪 " 本身含义的商议却鲜见诸公多视野。鉴于这栽理论钻研的缺失,本文旨在行使浅易的非线性动力学理论,注释 " 后浪 " 这一形象背后的数学内心,进而分析行为一个相符格的 " 后浪 " 所答该具有的特质。

关键词:后浪 非线性动力学 孤子

后浪的舛讹示范——成为韭菜 | 知乎 @嘻嘻

幼序:什么是 " 后浪 "?

所谓 " 后浪 ",顾名思义,即后面的波浪。

按照《当代汉语规范词典》的注释," 波浪 " 乃是江河湖海等收到外力作用表现出的首伏不屈的水面。按照首伏的强烈水平分歧,吾们定义微弱的 " 浪 " 为 " 波 ",重大的 " 波 "(咦?相通混进了什么清新的东西?)为 " 浪 "。

人类对于波浪的不都雅察自古有之,但在自然科学中,其概念要更为宽泛:水波、声波、电磁波、风浪、涌浪、近岸浪星罗棋布。进入十八世纪,达朗贝尔、欧拉、丹尼尔 · 伯努利、拉格朗日等人对震动方程的编制钻研,更是为后人深入意识 " 波浪 " 这一物理形象奠定了坚实的数学基础。

达朗贝尔(左上)、欧拉(右上)、丹尼尔 · 伯努利(左下)、拉格朗日(右下) | Wikipedia

让 · 勒朗 · 达朗贝尔,法国物理学家、数学家和天文学家。24 岁成为法国科学院天文学助理院士;

莱昂哈德 · 欧拉,瑞士数学家和物理学家,被认为是有史以来很远大的数学家之一,13 岁考入巴塞尔大学;

丹尼尔 · 伯努利,约翰 · 伯努利之子,流体力学和概率与数理统计先驱,21 岁获得博士学位;

约瑟夫 · 拉格朗日,法籍意大利裔数学家和天文学家,被腓特烈大帝称做 " 欧洲很远大的数学家 ",19 岁的论文为变分法奠定了理论基础。

——一言以蔽之,都是后浪

早期的数学家主要行使震动方程来描述 " 波 " [ 1 ] :

一维震动方程:

二维震动方程:

三维震动方程:

其中 u 代外弦(一维)/ 水面(二维)/ 空间(三维)中的一个点在 t 时刻的位置,f 能够浅易地理解为这一点所收到的外力。

对于震动方程,只要给出边界条件和初首条件,就能够得出方程的解。

换言之,吾们就晓畅了波上肆意一点在肆意一个确定的时刻的实在位置。

上图:一维震动方程(如琴弦)的一个解

下图:二维震动方程(如水面)的一个解

(对于震动方程,能够经由过程 Mathematica 之类的柔件轻盈实现可视化。不过既然某基百科上有现成的图,笔者就直接拿来主义了。)

图片来源 | Wikipedia

相较上面吾们介绍的 " 波 "," 浪 " 的原理相对来说更为复杂。以海浪为例,风、天体引力、地震、火山爆发、大气压、海水密度分布等因素都会对其造成影响。

自然,内心上来说,浪能够视作是由无限多个振幅分歧、频率各异、倾向不定、相位紊乱的波构成的,于是上述波的理论集体上而言照样适用。

《海贼王》中白胡子发动震震果实的能力,使海面产生很多细微的浪花。这些浪花荟萃,最后形成巨浪 | iqiyi

从上面的例子吾们不寝陋出,不论是 " 波 " 照样 " 浪 ",犹如都不是安详的存在。

振幅较幼的波会随着传播距离的增补而逐渐形变弥散,末了消亡不见。而振幅较大的浪则会在进取的过程中愈发前倾,甚至会在某暂时刻形状坍缩,形成浪花。

望首来," 前浪 " 被拍物化在沙滩上,主要照样它本身担心详,怪不得 " 后浪 " 不过,要是 " 后浪 " 也这么担心详,岂不是很快就会沦为又一波 " 前浪 " 了吗?

凡事并异国这么绝对,譬现在天吾们要讲的这个故事。(没想到吧,扯了这么久才刚刚步入正题。)

一个相符格的 " 后浪 ":

KdV 方程的孤波解

让吾们把故事线跳转到 1834 年的夏季。

话说,在英国喜欢丁堡格拉斯哥的运河旁,苏格兰工程师罗素(John Scott Russell)正骑马信步。骤然间,运河中一个清新的波浪引首了他的仔细 [ 2 ] 。

按照他过后的描述 [ 3, 4 ] ,运河上的船 " 骤然停下来大量河水并不息止,它们汇集在船头附近形成一个圆而平滑、轮廓显明、重大的孤立的高水头,沿着运河不息进取,异国清晰的形状转折和速度减幼。"

约翰 · 罗素(左)vs 伯特兰 · 罗素(右) | Wikipedia

约翰 · 罗素是苏格兰海军工程师,也就是上面清新波浪的发现者,同时照样 1851 年世博会的发首人。

然而行家清淡拿首 " 罗素 ",往往指的是《西方形而上学史》的作者,挑出了 " 罗素悖论 " 的伯特兰 · 罗素。然而他与今天的故事——毫无有关

(这边放上伯特兰 · 罗素的照片纯粹就是为了防止有的同学认错人。)

考虑到清新波浪的形状和移动速度都保持不变,罗素最先用 "solitary" 来形容这一类波,即孤波(solitary wave)。

为了弄懂得孤波的形成因为,罗素建造了一个一端带有重锥的水槽,用重锤落入水槽的一端来产生孤波。

罗素实验暗示图

重锤落水后,产生的孤波以恒定的速度 v 向右移动并保持形状不变。

在实验中,罗素还发现水槽的静水水深 H 与孤波的振幅 h 有如下有关:

其中 k 是比例常数。这表明振幅较高的孤波移动速度也更快。此外,实验表明孤波中水的体积相等于重锤排开的水的体积,于是振幅高的波也相对较窄。

不过怅然的是,罗素并异国尝试从流体力学的角度分析这个题目,也异国给出孤波的数学注释 [ 3, 4 ] ,于是在挨近半个世纪的时间里,他的钻研首终异国受到偏重。

直到 1895 年,荷兰数学家科特韦格(Diederik Korteweg)和德弗里斯(Gustav de Vries)挑出了 KdV 方程,才从数学上肯定了罗素以前的发现。

布辛尼斯克(左)、科特韦格(中)、德弗里斯(右)| Wikipedia

布辛涅斯克,法国数学家。布辛尼斯克在其 1877 年的著作 [ 5 ] 中已经得出有关的结论。不过直到 1895 年科特韦格与他的门生德弗里斯发外了他们关于浅水中幼振幅长波行动的方程之后 [ 6 ] ,有关钻研才逐渐在学术界得到偏重,于是最后也以两人的名字将方程命名为 KdV 方程。

KdV 方程最初写作

经由过程变量替换进走简化处理(即无量纲化)后得到

关于 KdV 方程的推导,过程稍显冗长,感有趣的读者能够参考 [ 2,7 ] 。(原形上笔者信任已找到了一栽绝妙的推导方法,怅然这边空白的地方太幼,写不下……)

这边的无量纲化,指的是经由过程正当的变量替换,将方程中涉及物理量的片面的单位移除,总之是一栽简化运算的手腕。

求解 KdV 方程的思路有很多,经典的包括走波法、Lax 对法、双线性算法、逆散射方法等等,这些思路也是当代可积编制钻研的主要倾向。这边简要介绍走波解的求法。

不失清淡性,吾们商议无量纲化的 KdV 方程

倘若方程存在以下式样的解

将其带入 KdV 方程,稍作处理就能够得到

其中符号的含义与上文相通,c 为波速,x0 为肆意常数。

云云吾们就得到了一个相符格的 " 后浪 ":局域分布(只存在于空间中的一个幼区域),且形状不随时间演化。

之后吾们还会望到,孤波间作用后还具有弹性碰撞的性质(即碰撞后,形状能够恢复,且异国动能亏损)。

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